Theo BĐT Cauchy cho 2 số dương, ta có:

\(2x^2+y^2+5=\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+1\right)+4\ge2\left(xy+x+2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{2x^2+y^2+5}\le\frac{x}{2\left(xy+x+2\right)}\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{2y}{6y^2+z^2+6}\le\frac{2y}{4\left(yz+y+1\right)}=\frac{y}{2\left(yz+y+1\right)}\)(2)

\(\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\le\frac{4z}{4\left(zx+2z+2\right)}=\frac{z}{zx+2z+2}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{x}{2x^2+y^2+5}+\frac{2y}{6y^2+z^2+6}+\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{xy+x+2}+\frac{y}{yz+y+1}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{xyz+xz+2z}+\frac{xyz}{xyz^2+xyz+xz}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{2+xz+2z}+\frac{2}{2z+2+xz}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)\)(Do xyz = 2)

\(=\frac{1}{2}.\frac{zx+2z+2}{zx+2z+2}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z = 2

Đây là Toán hay Lí vậy bạn !!?

Ta có: \(2x^2+y^2+5=\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+1\right)+4\ge2xy+2x+4=2\left(xy+x+2\right)\Rightarrow\frac{x}{2x^2+y^2+5}\le\frac{x}{2\left(xy+x+2\right)}\)\(6y^2+z^2+6=\left(4y^2+z^2\right)+\left(2y^2+2\right)+4\ge4yz+4y+4=4\left(yz+y+1\right)\Rightarrow\frac{2y}{6y^2+z^2+6}\le\frac{y}{2\left(yz+y+1\right)}\)\(3z^2+4x^2+16=\left(z^2+4x^2\right)+\left(2z^2+8\right)+8\ge4zx+8z+8=4\left(zx+2z+2\right)\Rightarrow\frac{4z}{2z^2+4x^2+16}\le\frac{z}{zx+2z+2}\)Từ ba bất đẳng thức trên suy ra:\(\frac{x}{2x^2+y^2+5}+\frac{2y}{6y^2+z^2+6}+\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{xy+x+2}+\frac{y}{yz+y+1}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{xz}{xyz+xz+2z}+\frac{xyz}{xyz^2+xyz+xz}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{zx+2z+2}+\frac{2}{zx+2z+2}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)=\frac{1}{2}\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z = 2

a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)

Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2

b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)

Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)

Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)

Câu 1:

\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)

Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=1/2

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)

CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

a) \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(+\frac{1}{y^2}\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)

\(=2+\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar cho 2 số không âm, ta được:

\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)

C/m được BĐT phụ: \(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow16x^2y^2\le1\Leftrightarrow256x^2y^2\le16\Leftrightarrow\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{16}\)

\(\Rightarrow M\ge2+\frac{1}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2y^2=\frac{1}{256x^2y^2}\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))

\(\frac{16}{3x+3y+2z}=\frac{16}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)1}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\)

Tương tự \(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+z}\)

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{y+z}\)

Cộng vế theo vế ta có:

\(16\left(\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=24\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

P/S:Có dùng S-vác ngược dấu ạ.ý tưởng tách mẫu là từ tth_new - Trang của tth_new - Học toán với OnlineMath nha !

b) \(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(x+z\right)+\left(x+y\right)}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)

Tương tự hai bđt còn lại và cộng theo vế thu được: \(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\)ta có :

\(\frac{16}{3x+3y+2z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)

Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được :

\(16.\left(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\)

\(\le4.\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=4.6=24\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\)

Câu hỏi của NGUYỄN DOÃN ANH THÁI - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của NGUYỄN DOÃN ANH THÁI - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath